今天我们来看复合函数。

复合函数就是几重函数复合在一起，最常见的就是2层的复合函数，可以表示成f[g(x)]，从这个式子里能看出来，函数g(x)的函数值作为f(x)的自变量，再代入f(x)的解析式求函数值。

1.定义域

函数的定义域优先，我们先看看定义域。复合函数的定义域应该是两方面决定的：一是函数g(x)原本给出的定义域，假如用集合或区间A表示；二是g(x)的值域要落在f(x)的定义域内，也就是说给了g(x)一个取值范围的要求，这样的话相当于解一个含g(x)的不等式，得到一个解集B。

最终复合函数的定义域就是A和B的交集，或者说我们在x属于g(x)定义域A的前提下，去解g(x)的值属于f(x)定义域的这样一个不等式，得到的解集就是复合函数f[g(x)]的定义域。

其实定义域明白了之后，复合函数的很多问题也就明白了。

2.求值

比如说复合函数的求值，其实就是从内向外层层代入的过程。这个不用多解释。

3.求零点

如果是求复合函数的零点，也就是方程f[g(x)]=0的解，那其实就是反过来从外向内一层一层“剥竹笋”的过程。先求方程f(x)=0的解，比如设为x1和x2，然后再分别解方程g(x)=x1，g(x)=x2，得到的解合起来就是f[g(x)]=0的解。

4.求单调性

再来看一下复合函数的单调性。单调性简单来说就是看x越大y是越大还是越小。那么也是两层连起来看。假设g(x)递减，f(x)递减。

由g(x)递减就得到x越大时g(x)越小，然后把g(x)作为自变量，由f(x)递减得到g(x)越小时f[g(x)]越大。

现在把中间跳过，直接看一头一尾，就是x越大时f[g(x)]越大，所以f[g(x)]是递增的函数。

大家发现了吗，这种两层的关系类似于我们符号法则里的“正正或者负负都得正，正负或负正都得负”，所以复合函数的单调性的规律又被总结为“同增异减”，意思就是内外两层函数单调性相同的话，不管是同为增还是同为减，复合函数就是递增的；内外两层函数一个增一个减，复合函数就是递减的。